6.3 Perda de carga contínua

Poucos problemas mereceram tanta atenção ou foram tão investigados quanto o da determinação das perdas de carga em uma tubulação. As dificuldades que se apresentam os estudos analíticos da questão são tantas que levaram os pesquisadores às investigações experimentais. Assim foi que, após inúmeras experiências conduzidas por Darcy e outros investigadores, com tubos de seção circular, concluiu-se que a resistência ao escoamento é:

• Proporcional ao comprimento (L) da canalização
• Inversamente proporcional ao diâmetro (1/D)
• Proporcional a uma potência da velocidade (Vⁿ)
• Variável com a natureza dos tubos (rugosidade)
• Independente da posição dos tubos
• Independente da pressão interna

6.3.1 A Fórmula Universal

Obtém-se assim, a fórmula de cálculo de tubulações denominada Fórmula de Darcy-Weisbach ou ainda, Fórmula Universal:

\[\begin{equation} hf = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \tag{6.1} \end{equation}\]

em que:

• hf – perda de carga contínua, mca
• f – fator de atrito
• L – comprimento da tubulação, m
• D – diâmetro da tubulação, m
• V – velocidade do fluido, m/s

A dificuldade na utilização da Fórmula Universal está na obtenção do coeficiente de atrito (f), pois este é uma função da rugosidade do tubo, da viscosidade e densidade do fluido, da velocidade e diâmetro da tubulação.

Combinando a equação apresentada acima com a equação da continuidade (Q=A.V), esta pode ser escrita como:

\[\begin{equation} hf = f \frac{8}{\pi^2 \cdot g} \frac{Q^2 \cdot L}{D^5} \tag{6.2} \end{equation}\]

A Fórmula universal é aplicável aos problemas de escoamento de qualquer líquido (água, óleo, gasolina, etc.) em encanamentos.

6.3.2 Fórmulas para fator de atrito (f)

Regime laminar

No caso do regime laminar (Re<2000), o coeficiente de atrito é calculado por:

\[\begin{equation} f = \frac{64}{Re} \tag{6.3} \end{equation}\]

A perda de carga no regime laminar não depende da rugosidade das paredes do tubo.

Regime turbulento

Para o regime turbulento, podemos utilizar a equação de Colebrook-White (1939), bastante citada na literatura com bons resultados práticos:

\[\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \cdot log \left ( \frac{e}{3,7 \cdot D} + \frac{2,51}{Re \cdot \sqrt{f}} \right ) \tag{6.4} \end{equation}\]

Essa equação é válida para qualquer faixa do regime turbulento. Seu inconveniente é precisar de métodos iterativos para calcular o valor de f.

1º caso: Conhecidos Q, L, D, υ, ε. Incógnita: hf Considere

\(x_2 = x_1 - \frac{x_1 + 2 \cdot log\left (\frac{e}{3,7 \cdot D} + \frac{2,51 \cdot x_1}{Re} \right ) }{1 + \left ( \frac{2,18}{ \left ( \frac{e \cdot Re}{3,7 \cdot D} + 2,51 \cdot x_1 \right )} \right ) }\)

1. Calcule a velocidade pela equação da continuidade
2. Calcule Re
3. Atribua um valor inicial para x₁, por exemplo, x₁= 4
4. Calcule o valor de x₂
5. Verifique se x₂ = x₁; se for igual, vá ao passo seguinte, caso contrário, volte ao passo 4 utilizando o valor de x₂ no lugar de x₁
6. Calcule o valor de f
7. Calcule a perda de carga pela fórmula universal.

2º caso: Conhecidos hf, L, D, υ, ε. Incógnita: Q ou V

Considere:

\(Re \cdot \sqrt{f} = \frac{D}{\nu} \sqrt{(2g \cdot D \cdot hf/L)}\)

\(f = \left ( \frac{1}{-2 \cdot log \left ( \frac{e}{3,7 \cdot D} + \frac{2,51}{Re \cdot \sqrt{f}} \right ) } \right ) ^2\)

1. Calcule \(Re\sqrt{f}\) (primeira equação)
2. Calcule f (segunda equação)
3. Calcule V pela fórmula universal
4. Calcule Q pela equação da continuidade

3º caso: Conhecidos hf, Q, L, υ, ε. Incógnita: D

Considere

\(p = \frac{2 \cdot \sqrt{12,1 \cdot hf/L}}{Q}\)

\(q = \frac{e}{3,7}\)

\(r = \frac{2,51 \nu}{\sqrt{2g \cdot hf/L}}\)

\(x_2 = x_1 - \frac{x_1^5 + p \cdot log (q\cdot x_1^2 + r \cdot x_1^3)}{5 \cdot x_1^4 + p \cdot log (e) \left (\frac{2 \cdot q + 3 \cdot r \cdot x_1^3}{q \cdot x_1 + r \cdot x_1^2} \right )}\)

\(D = \frac{1}{x^2}\)

1. Calcule os valores das variáveis p, q e r
2. Atribua um valor para x1, por exemplo, x₁ = 0,1
3. Calcule o valor de x₂
4. Verifique se x₂ = x₁; se for igual, vá ao passo seguinte, caso contrário, volte ao passo 2 utilizando o valor de x₂ no lugar de x₁
5. Calcule o diâmetro

6.3.3 Fórmula de Hazen-Willians

Após cuidadoso exame estatístico de milhares de dados experimentais, dois pesquisadores norte-americanos propuseram, em 1903, uma fórmula empírica que ficou conhecida como fórmula de Hazen-Willians (Allen Hazen, engenheiro civil e sanitarista; Gardner S. Willians, professor de Hidráulica) que goza de grande aceitação devido ao amplo uso e às confirmações experimentais.

Adicionando a equação da continuidade, a fórmula de Hazen-Willians pode ser escrita, em unidades no SI, da seguinte forma:

\[\begin{equation} hf = \frac{10,643 \cdot Q^{1,852} \cdot L}{C^{1,852} \cdot D^{4,871}} \tag{6.5} \end{equation}\]

em que:

• hf – perda de carga, m
• Q – vazão, m³/s
• L - comprimento, m
• C – coeficiente de atrito de Hazen-Willians, adimensional
• D – diâmetro, m

Como toda fórmula empírica, ela só pode ser usada para os casos em que foi deduzida, são eles:

• Água a temperatura ambiente, cerca de 20°C
• Regime turbulento
• Diâmetro entre 50 e 3500 mm

A tabela abaixo apresenta o valor do coeficiente de atrito de Hazen-Willian para alguns materiais:

Material	Coeficiente C
Aço corrugado	60
Aço galvanizado	125
Cobre	140
Concreto	130
Ferro	130
Plástico	140

A fórmula de Hazen-Willians requer, para sua aplicação criteriosa, grande cuidado na adoção do coeficiente C. A escolha negligente desse coeficiente, ou a fixação de um valor médio invariável reduz muito a precisão que pode ser esperar de tal fórmula.

Exemplo 6.4 (Hazen-Willian 1) Uma adutora constituída por tubos de PVC (C=140) de 150 mm deverá fornecer 25 L/s de água a uma propriedade agrícola. Se o comprimento da adutora é de 1000 m, determinar o desnível (hf) necessário à obtenção desta vazão.

Solução.

\(hf = \frac{10,643 \cdot 0,025^{1,852} \cdot 1000}{140^{1,852} \cdot 0,150^{4,871}} = 12,55 mca\)

Exemplo 6.5 (Hazen-Willian 2) Calcular a vazão fornecida por uma adutora construída com 3200 m de tubos de PVC (C=140) com diâmetro de 200 mm. A adutora é alimentada por um reservatório, cujo nível está situado na cota 140 m descarregando em outro reservatório cujo nível de água se situa na cota 92 m.

Solução.

\(Q = \left ( \frac{hf \cdot C^{1,852} \cdot D^{4,871}}{10,643 \cdot L} \right )^{\frac{1}{1,852}}\)

\(Q = \left ( \frac{48 \cdot 140^{1,852} \cdot 0,200^{4,871}}{10,643 \cdot 3200} \right )^{\frac{1}{1,852}} = 0,059 m^3/s\)

Exemplo 6.6 (Hazen-Willian 3) Dois reservatórios, cujos níveis de água estão situados nas cotas 195 m e 100 m, estão interligados por meio de uma tubulação de PVC (C=140) de 975 m de comprimento que conduz uma vazão de 5 L/s. Calcular o diâmetro interno dos tubos da adutora de interligação.

Solução.

\(D = \left ( \frac{10,643 \cdot Q^{1,852} \cdot L}{hf \cdot C^{1,852}} \right ) ^ {\frac{1}{4,871}}\)

\(D = \left ( \frac{10,643 \cdot 0,005^{1,852} \cdot 975}{95 \cdot 140^{1,852}} \right ) ^ {\frac{1}{4,871}} \cdot 1000 = 53,4 mm\)

No vídeo você pode conferir a resolução destes exercícios:

6.3.4 Fórmula de Flamant

Aplica-se ao caso em que a fórmula de Hazen-Willians não deve ser utilizada, principalmente para diâmetros menores de 50 mm.

\[\begin{equation} hf = \frac{6,107 \cdot b \cdot Q^{1,75} \cdot L} {D^{4,75}} \tag{6.6} \end{equation}\]

Abaixo alguns valores para o coeficiente de rugosidade “b” de Flamant:

Material	Coeficiente b
Ferro fundido novo	0,000185
Aço galvanizado novo	0,000185
Cimento amianto	0,000155
Plástico	0,000135